Consigne: On considère la suité récurrente décroissante et convergeant vers \(0\) définie par $$\begin{align} u_0&\in[0,1]\\ u_{n+1}&=\sin u_n\end{align}$$
Trouver \(k\gt 0\) et \(\alpha\) tels que $$\frac1{u_{n+1}^\alpha}-\frac1{u_n^\alpha}\sim k$$
Simplification des deux fractions On a : $$\frac1{(\sin u_n)^\alpha}-\frac1{u_n^\alpha}=\frac{u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha}{u_n^\alpha(\sin u_n)^\alpha}$$
Simplifier avec les équivalents De plus, on a :$$u_n^\alpha(\sin u_n)^\alpha\underset{+\infty}\sim u_n^{2\alpha}\quad\text{ car }\sin x\underset0\sim x$$
Simplification du numérateur De plus, on a : $$u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha=u_n^\alpha\left[1-\left(\frac{\sin u_n}{u_n}\right)^\alpha\right]$$
DL Développement limités : $$\begin{align}\sin x&=x-\frac{x^3}6+o(x^3)\\ (1+u)^\alpha&=1+\alpha u+o(u)\\ \left(\frac{\sin x}{x}\right)^\alpha&=\left(1-\frac{x^2}6+o(x^2)\right)^\alpha=1-\frac{\alpha x^2}{6}+o(x^2)\end{align}$$
Donc $$1-\left(\frac{\sin x}x\right)^\alpha=\frac{\alpha x^2}{6}+o(x^2)$$
On a donc : $$u_n^\alpha-(\sin u_n)^\alpha=u_n^\alpha\left[\frac{\alpha u_n^2}{6}+o(u_n^2)\right]$$
Grâce à toutes les étapes précédentes, on a enfin : $$\frac13\sim\frac1{u_{+1}^2}-\frac1{u_n^2}$$
(Fonctions équivalentes , Puissance (Développement limité en 0) , Sinus (Développement limité en 0) )